РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА В КАМЕРЕ РДТТ

К основным параметрам рабочего процесса относятся давле­ние, температура, плотность, удельный объем продуктов сгорания, скорость их движения, время процесса. Наибольшее значение в оценке рабочего процесса имеет кривая изменения давления продуктов сгорания в функции времени, которая определяет характер изменения тяги и величину ее полного импульса. От давления в камере сгорания и времени работы двигателя зависят непосред­ственно или косвенно другие параметры рабочего процесса.

К настоящему времени предложен ряд методов по расчету па­раметров рабочего процесса. Наиболее совершенные методы бази­руются на использовании ЭВМ. Точность определения параметров рабочего процесса подобными методами в основном зависит от строгости исходной системы уравнении и полноты описания всех сторон рабочего процесса. Однако, на сегодняшний день процесс газообразования описывается эмпирическими соотношениями, а также в другие уравнения входят опытные коэффициенты, поэто­му при использовании ЭВМ не всегда получаем надежные резуль­таты. Ниже излагается приближенный аналитический метод, ко­торый доступными средствами позволяет в большинстве случаев с достаточной точностью определить значение параметров рабоче­го процесса.

1. ИСХОДНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

 1.1. Постановка задачи по расчету параметров рабочего процесса

Задача по расчету параметров рабочего процесса является ос­новной задачей теории РДТТ. Она сводится к определению пара­метров рабочего процесса по известным условиям заряжания и конструктивным характеристикам двигателя. Следовательно, при решении подобной задачи являются известными:

условия заряжания (масса, форма, размеры основного заряда и навески воспламенителя, характеристики природы твердого топлива и воспламенителя);

конструктивные характеристики двигателя (объем, длина, диа­метр камеры сгорания, площади критического и выходного сече­ний сопла).

Аналитические методы решения основной задачи базируются на системе уравнений, которые приближенно отображают сущ­ность рабочего процесса. В качестве допущений и условий, поло­женных в основу составления и решения системы уравнений, при­няты следующие:

процессы воспламенения навески воспламенителя и основного заряда не рассматриваются, а предполагаются происходящими мгновенно;

продукты сгорания воспламенителя и основного заряда обра­зуют смесь, которая считается однородной (смесь идеальных га­зов); характеристики смеси принимаются средними постоянными значениями;

содержащиеся в продуктах сгорания конденсированные вещест­ва и газ находятся в тепловом и динамическом равновесии;

давление и плотность продуктов сгорания являются функциями только времени;

температура продуктов сгорания принимается средним постоян­ным значением при горении навески воспламенителя и основного заряда;

воспламенитель и основной заряд горят по геометрическому закону, скорость изменения давления и деформация твердого топ­лива не влияют на его скорость горения;

процесс истечения продуктов сгорания считается одномерным, адиабатическим, квазиустановившимся и неравновесным;

тепловые и газодинамические потери в явном виде не учиты­ваются;

рабочий процесс рассматривается состоящим из трех периодов: совместного горения навески воспламенителя и основного заряда, горения одного основного заряда, истечения газов после сгорания заряда.

1.2. Исходная система уравнений

В основу решения задачи расчета параметров рабочего процес­са кладутся уравнения, которые математически описывают основ­ные закономерности внутрикамерных процессов. Они составляют исходную систему уравнений, которая приводится ниже с учетом сформулированных выше допущений и применительно к периоду совместного горения навески воспламенителя и основного заряда:

1. Уравнение состояния рабочего тела

(2.1)

2. Уравнение свободного объема камеры сгорания (1.9)

3. Уравнение секундного прихода продуктов сгорания воспла­менителя в камеру двигателя (1.7)

4. Уравнение скорости горения воспламенителя

(2.2)

5. Уравнение поверхности горения воспламенителя (1.8)

6. Уравнение скорости прихода продуктов сгорания твердого топлива основного заряда в камеру двигателя (1.3)

7. Уравнение скорости горения твердого топлива

(2.3)

8. Уравнение температурной функции скорости горения

(2.4)

9. Уравнение среднего значения эрозионной функции скорости горения определяется по методике, изложенной выше. В частно­сти, для заряда с постоянной по длине площадью свободного про­хода и при условии, что скорость газов на входе в заряд не пре­вышает пороговую, имеем (1.27)

где

(2.5)                                                                                                                                     (2.6)

10. Уравнение поверхности горения основного заряда

(2.7)

11. Уравнение скорости расхода продуктов сгорания из камеры двигателя

(2.8)

Исходные системы уравнений для периода горения одного основного заряда и периода истечения газов после сгорания заряда получаются как частные случаи приведенной системы.

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПЕРИОДА СОВМЕСТНОГО ГОРЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ И ОСНОВНОГО ЗАРЯДА

Исходная система уравнений не интегрируется в конечном ви­де. Создание аналитического метода возможно только при ее при­ближенном решении, т. е. при допущении, что свободный объем камеры сгорания не изменяется до момента достижения макси­мального давления. Этот момент практически определяет время выхода двигателя на стационарный режим работы. За это время сгорает в среднем не более 0,5 – 1,0 % основного заряда, что по­зволяет принимать величину свободного объема постоянной, рав­ной начальному, т. е. Vсв = Vсв0. Введение этого допущения исклю­чает уравнение (1.9).

В сопловом блоке РДТТ обычно находится заглушка, вскрытие которой происходит при некотором давлении. Поэтому рассматри­ваемый период включает две стадии:

совместное горение воспламенителя и основного заряда от на­чала процесса и до момента вскрытия заглушки;

совместное горение воспламенителя и основного заряда от мо­мента вскрытия заглушки и до конца горения воспламенителя.

2.1. Расчет параметров рабочего процесса при наличии сопловой заглушки

При наличии сопловой заглушки горение происходит в посто­янном объеме, поэтому h = 0; dh/dt = 0; Тк = Тvср. Смесь продуктов сгорания неподвижна в камере двигателя, следовательно, w = 0; ¯ƒ  3(w) = 1,0. Таким образом, исходная система уравнений для дан­ной стадии включает следующие зависимости:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

где

За независимую переменную принимаем относительное коли­чество, сгоревшего воспламенителя yв. Вначале установим связь для давления продуктов сгорания в функции независимой перемен­ной рк = f (yв). Для этого продифференцируем уравнение (2.9) по yв

(2.12)

Для исключения из последнего выражения величины y делим по­членно Уравнения (2.11) и (2.10)

(2.13)

Значение  dy/ dyв подставляем в (2.12), в результате получим

(2.14)

где

Уравнение (2.14) точно аналитически не решается. Приближенное решение строится для малого участка интегрирования. На участ­ке Dyвi = yвi — yв(i-1) переменные рк и s принимаются средними арифметическими значениями

Подобный прием будет использоваться в дальнейшем при прибли­женном интегрировании дифференциальных уравнений. При этом шаг интегрирования может приниматься Dyвi = 0,1 – 0,2. Уравнение (2.14) проинтегрируем при принятом допущении

(2.15)

где

Связь между сгоревшими частями основного заряда и воспла­менителя найдем из уравнения (2.13), проинтегрировав которое на участке  Dyвi имеем

(2.16)

где

Зависимость для времени процесса получим из уравнения (2.10), решая которое относительно dt и интегрируя на участке Dyвi, находим

(2.17)

где

При проведении расчетов значения Rср и Тvср рекомендуется оп­ределять по формулам

2.2. Расчет параметров рабочего процесса при отсутствии сопловой заглушки

Система уравнений для данной стадии приведена выше. Сред­нее значение температуры смеси продуктов сгорания следует при­нимать как среднее арифметическое изобарических температур продуктов сгорания воспламенителя и основного заряда

Методика решения системы уравнений сохраняется такой же, как и для предыдущей стадии. Поэтому, не повторяя выкладок, приведем рабочие формулы для давления продуктов сгорания, от­носительного количества сгоревшего топлива основного заряда и относительной массы вытекших продуктов сгорания в функции не­зависимой переменной yв:

(2.18)

(2.19)

(2.20)

где

Время процесса определяется по формуле (2.17).

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПЕРИОДА ГОРЕНИЯ ОДНОГО ОСНОВНОГО ЗАРЯДА

В данном периоде в камере сгорания находится смесь продук­тов сгорания воспламенителя и основного заряда. Однако масса продуктов сгорания воспламенителя незначительна по сравнению с массой газов от основного заряда и поэтому их наличие учиты­вать не будем. Исходная система уравнений для данного периода включает следующие соотношения:

уравнение ее стояния рабочего тела

(2.21)

уравнение свободного объема камеры сгорания (1.9)

уравнение секундного прихода продуктов сгорания основного заряда

(2.22)

уравнение среднего значения эрозионной функции скорости го­рения (1.27)

где

(2.23)

уравнение для секундного расхода продуктов сгорания

(2.24)

Эта система уравнений решается приближенно и в две стадии, различающиеся между собой методикой нахождения искомых ве­личин. Первая стадия сводится к вычислению параметров рабоче­го процесса для промежутка времени от начала периода и до мо­мента, как угодно близкого к максимальному давлению. Если ве­личина максимального давления достигается в первом периоде, то эта стадия выпадает из расчетов. Вторая стадия заключается в определении тех же параметров, но для промежутка времени от момента сколь угодно близкого к максимальному давлению и до конца горения основного заряда.

3.1. Первая стадия расчета параметров рабочего процесса

При решении среднее значение температуры продуктов сгора­ния основного заряда примем равным изобарической температуре Тср = Тр, тогда RTр = fр. Кроме того, в соответствии с ранее приня­тым допущением имеем  Vсв = Vсв0.

Вначале находим зависимость для давления газов в функции времени, для этого дифференцируем уравнение состояния

В полученное выражение подставляем вместо dy/dt и dh/dt их значения из (2.22) и (2.24). Тогда

(2.25)

где

Уравнение (2.25) интегрируем приближенно в предположении, что на малом участке Dt = ti — ti-1,  значения; s и ¯ƒ 3(w) принимаются средними арифметическими

При этом допущении переменные в уравнении (2.25) разделяются, и оно принимает вид

Интегрируя последнее уравнение в пределах от ti-1 до ti и от (рк)i-1 до (рк)i, получаем

(2.26)

где

Интеграл, входящий в правую часть равенства (2.26), может быть вычислен путем подстановки

Используя приведенную подстановку и проведя ряд преобразова­ний, приходим к следующей зависимости для

(2.27)

Решая выражение (2.27) относительно давления продуктов сгорания, получаем

(2.28)

Для установления зависимости  y = f (t) используем уравнение (2.22), разделяя в котором переменные и проводя приближенное интегрирование на малом участке Dti = ti — ti-1, имеем

(2.29)

где

Соотношение для расхода продуктов сгорания в функции вре­мени получается при приближенном интегрировании уравнения

(2.30)

где

3.2. Вторая стадия расчета параметров рабочего процесса

После достижения (рк)mах давление газов в двигателе изменя­ется сравнительно плавно. Это позволяет для любого текущего момента времени принимать скорость прихода продуктов сгорания, равной скорости их расхода, т. е. находить величину текущего давления из условия

Согласно сформулированному условию, приравнивая правые части выражений (2.22) и (2.24), получаем

(2.31)

Эту же формулу получим, если приравняем нулю производную dрк/dt. Подобное совпадение объясняется тем, что для каждого момента времени существует свое «мгновенное» максимальное дав­ление, которое совпадает с давлением, находимым в предположе­нии равенства скорости прихода газов скорости их расхода. Время процесса найдется из уравнения (2.22)

(2.32)

3.3. Оценка величины максимального давления газов

По результатам расчетов параметров рабочего процесса может быть построена кривая рк = f (t) и по ней определена величина максимального давления. Однако такой путь достаточно трудое­мок. Если приравнять    dрк/dt = 0, то приходим к уравнению, кото­рое включает три переменные    (рк, s, w) для момента достижения максимального давления.

Так как ни одна величина не известна, то нельзя определить (рк)mах. Для ориентировочной оценки (рк)mах можно принять smах » 1,0, так как горящая поверхность заряда к моменту дости­жения максимального давления изменяется несущественно. Значе­ние функции ¯ƒ 3(w) рекомендуется определять для начального момента времени, пренебрегая влиянием воспламенителя, так как к моменту достижения максимального давления он обычно сгора­ет, а геометрические размеры заряда изменяются незначительно.

Итак, для определения (рк)mах можно использовать формулу (2.31), в которой следует принять s = 1,0, а ¯ƒ  3(w) вычислять для начального момента времени без учета влияния воспламенителя. При таком подходе к вычислению (рк)mах его значение получается несколько завышенным по сравнению с действительным.

При расчете максимального давления следует учесть, что ско­рость потока газов зависит от давления. Поэтому при определе­нии wmах в качестве (рк)mах  принимаем его значение, полученное в предположении, что ¯ƒ  3(w) = 1,0.

В большинстве случаев в двигателях различного класса и на­значения требуется постоянство тяги во времени. Для удовлетво­рения этому требованию применяются заряды с постоянной по­верхностью горения и такие условия заряжания, при которых ско­рость потока продуктов сгорания не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на скорость горения твердого топлива. При отмеченных условиях расчет параметров рабочего процесса су­щественно упрощается, так как в этом случае следует положить s = 1,0 и ¯ƒ  3(w) = 1,0. При такой упрощенной постановке задачи расчетные формулы получаются как частный случай более общих соотношений, приведенных выше.

4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ПЕРИОДА ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ ПОСЛЕ СГОРАНИЯ ЗАРЯДА

Рассматриваемый период охватывает время от конца горения основного заряда до окончания истечения газов из камеры двига­теля. Система уравнений получается из общей системы при учете следующих особенностей:

отсутствует приток продуктов сгорания в камеру двигателя, поэтому        y = 1,0, а ее дифференциал dy = 0;

истечение газов из камеры двигателя является практически адиабатическим, поэтому работа расширения совершается продук­тами сгорания за счет внутренней энергии, что приводит к ее

уменьшению и к существенному падению температуры. Это об­стоятельство учитывается введением в исходную систему уравне­ния энергии рабочего процесса.

Таким образом, в исходную систему уравнений входят:

уравнение энергии рабочего процесса

(2.33)

уравнение состояния продуктов сгорания

(2.34)

уравнение секундного расхода газов

(2.35)

Проведем преобразование системы уравнений. Температура газов в камере сгорания найдется из уравнения энергии, которое после разделения переменных и интегрирования в пределах от Ткон до Тк и от hкон до h запишется в виде

(2.36)

где Ткон, hкон – соответственно температура и относительный рас­ход продуктов сгорания в конце горения заряда.

Подставляя в уравнение состояния (2.34) значение температу­ры из (2.36), получаем

(2.37)

где (рк)кон – давление газов в конце горения заряда.

Согласно уравнению (2.34)

Заменяя в уравнении расхода газов (2.35) давление и темпе­ратуру их значениями из (2.37) и (2.36) и выполнив интегрирова­ние, находим

(2.38)

где tкон – время, соответствующее концу горения заряда;

Если за независимую переменную принять время, то, решая уравнение (2.38) относительно h и подставляя найденное значение в (2.37) и (2.36), получим

(2.39)

(2.40)

(2.41)

Время периода истечения газов после сгорания заряда полу­чим из (2.40)

(2.42)

где рH  – давление окружающей среды на высоте Н.

Из формулы (2.42) следует, что время периода свободного ис­течения возрастает при увеличении давления в конце горения за­ряда, объема камеры сгорания, уменьшении площади критического сечения сопла и давления окружающей среды.

Следует иметь в виду, что полученные зависимости для пара­метров рабочего процесса справедливы только при надкритическом режиме истечения, так как исходное уравнение для секундного расхода правомерно только для такого режима. В этом случае для сопла-очка (сопло без расширяющейся части) границей при­менимости по давлению полученных формул будет условие

где

Таким образом, полученные формулы для параметров рабочего процесса справедливы, пока давление в камере сгорания выше наружного примерно в 2 раза и более. В соплах с расширяющейся частью для получения надкритического истечения превышение дав­ления в камере над наружным давлением значительно меньше. Поэтому установленные зависимости приемлемы для проведения расчетов до конца периода истечения продуктов сгорания.