Шпора по высшей математике

Бесплатно!

Содержание

Шпаргалка по вышке

1. Основные понятия теории множеств

Множество – совокупность нескольких объектов, которые называются элементами или точками этого множества.

Не содержащие ни одного эл-та множество называется пустым.

Если множество В состоит из части эл-ов А, то В подмножество А.Множества называются равными если состоят из одних и тех же эл-тов.

Объединением 2ух множеств А и В называется множ С состоящее из всех эл-ов принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.

Пересечение 2ух множеств – множество, сост из всех эл-ов, одновременно принадлежащих каждому множеству.

Разностью множеств А и В назыв множ Е, сост из всех эл-ов множ А, которые не принадлежат множеству В.

Дополнение множ А – множество, сост из из всех эл-ов множ В, не принадлежащих А.

Числовое множество – его эл-ты целые числа.

Геометрически множество изображается точками числовой прямой, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и единица масштаба.

2. Операции над множествами

1. пересечение множеств

2. объединение множеств

3. дополнение множеств

4. разность множеств

5. симметрическая разность

6. Декартово или прямое произведение множеств

3. Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1.Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d

2.Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i(b + d).

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами.

4. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел и их геометрическая интерпретация

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа: z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Геометрическая интерпретация:

Пусть имеется комплексное число . Возьмем на плоскости декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие точку на этой плоскости с координатами (x, y). Таким образом, геометрически комплексные числа – это точки на плоскости. Саму плоскость называют плоскостью комплексной переменной z.

5. Функция. Область определения и способы задания

Если каждому эл-ту х множества  Х ставится в соответствие вполне определённый эл-нт у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция y=f(x).

При этом х – независимая переменная, у – зависимая, а f обозначает закон соответствия.

Множество Х – область определения, У – область значения.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается множество таких значений х, при которых функция вообще имеет смысл.

Способ задания функций:

а) Аналитический – если формула задана функцией вида y=f(x).

б) Табличный – функция задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соотв. Значения функции f(x).

в) Графический – изображение графика функции.

г) Словесный – если функция описывается правилом её составления.

6. Сложная и обратная функция

Обратная функция – функция обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функция g: Y—X является обратной к функции f: X—Y если для них выпонены следующие два тождества:

f(g(y)) = y для всякого y принадлежит Y

g(f(x)) = x для всякого x принадлежит X

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует.

Согласно теореме о неявной функции выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности.

Сложная функция:  y = sin  в квадрате ( 2x ) .

Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:

u = 2x  — v = sin u  — y = v  в квадрате,

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f1( x )  — v = f2 ( u )  — y = f3( v ) ,

или короче:

y = f { v [ u ( x ) ] }.

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования  x  в  y, а три последовательных правила соответствия ( т.е. функции ), используя которые мы получаем  y  как функцию от  x. В этом случае мы говорим, что  y – сложная функция от  x.

7. Предел функции в бесконечности. Его геометрический смысл

Число А называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдётся такое положительное число S>0, что для всех x, таких что модуль x>S, верно неравенство: модуль(f(x)-A)<E

Обозначается  lim(x стемится к бесконеч) f(x)=A

Геометрический смысл: Число А есть предел функции y=f(x) при x стремящемся к бесконечности, если для любого Е>0 найдётся такое число S>0, что для всех x, таких что модуль(x)>S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A-E<y<A+E, какой бы узкой эта полоса не была.

8. Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к x0 (или в точке x0), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа Е>0, найдётся такое положительное число S>0, что для всех x, не равных x0 и удовлетворяющих условию модуль(x- x0)<S выполняется неравенство модуль(f(x)-A)<S

Геометрический смысл: Число А есть предел функции y=f(x) при x стремящемся к x0, если для любого Е>0 найдётся такая S-окрестность точки x0, что для всех x не равно x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A-E<y<A+E какой бы узкой она не была.

9. Бесконечно малые функции и их свойства:

Функция a(x) называется бесконечно малой величиной при x стремящемся к x0 или при

x стремящемся к бесконечности, если её предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

10. Бесконечно большие функции и их свойства:

Функция f(x) называют бесконечно большой величиной при x стремящемся к x0, если для любого даже сколь угодно большого положительного числа M>0 найдётся такое положительное число S>0, что для всех x, не равных x0 и удовлетворяющих условию модуль(x- x0)<S, будет верно равенство модуль(f(x))>M.

Свойства бесконечно больших величин:

  • Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
  • Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
  • Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

12. Основные теоремы о пределах

1) Функция не может иметь более одного предела.

2) Предел алгеброической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.

3) Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций.

4) Предел частного 2ух функций равен частному пределов этих функций.

Теорема 1: Если числовая последовательность An монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Теорема 2: Если в некоторой окрестности точки Х0 функция f(x) заключена между двумя функциями, имеющими одинаковый предел А при хà x0, то функция f(x) имеет тот же предел А.

13. Замечательные пределы

Первый замечательный предел lim xà0 sinX/X=1

Второй замечательный предел – предел числовой последовательности e=lim nà бесконечность(1+1/n) в степени n

14. Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа «бесконечность/бесконечность» и «0/0» по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, т.е. отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

15. Непрерывность функций

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет условиям: определена в точке x0; имеет конечный предел функции при xàx0; этот предел равен значению функции в точке x0, т.е lim xàx0 f(x)=f(x0)

Определение непрерывности функции в точке x0 может быть записано lim xàx0 f(x)=f(lim x) xàx0, т.е для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Свойства функций, непрерывных в точках:

  • Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x)>0, то существует такая окрестность точки x0, в которой f(x)>0
  • Если функции f(x) и p(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, произведение и частное являются функциями непрерывными в точке x0.
  • Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=p(x) непрерывна в точке u0=p(x0), то сложная функция y=f [p(x)] непрерывна в точке x0.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

  • Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (a, b), то она ограничена на этом отрезке.
  • Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (a, b) , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса)
  • Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (a, b) и значения её на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся такая точка E, что f(E)=0 (теорема Больцано-Коши)

16. Точки разрыва и их классификации

Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Точка x0  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности).

17. Асимптоты

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки x до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и хотя бы один из пределов функции при xàx0-0 (слева) или xàx0+0 (справа) равен бесконечности. Тогда прямая x=x0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Теорема 2: Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции lim xàбесконечности f(x)=b. Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

Теорема 3: Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы lim xà бесконечности f(x)/x=k и lim xà бесконечности [f(x)-kx]=b. Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x)

18. Производная

Производной функции y-f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует)

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл: производная f’(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке x0, т.е  k=f’(x0)

Механический смысл производной: Производная пути по времени s’(t0) есть скорость точки в момент t0: v(t0)=s’(t0)

19. Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю c’=0

2. Производная аргумента равна единице x’=1

3. Производная алгеброической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций (u+v)’=u’=v’

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение сомножителя на производную второго (uv)’=u’v+uv’

5. Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле (u/v)’=u’v-uv’/v kvadrat

20. Производная основных элементарных функций

Логарифмической функции (log(a)x)’=1/x*ln(a)

Показательной функции: (e v stepeni x)’= e v stepeni x

Степенной функции:  (x v stepeni n)’=nx v stepeni n-1

Тригонометрической функции: (sin x)’=cos x ; (cos x)’= -sin x ; (tg x)’=1/cosx v kvadrate ; (ctg x)= -1/sinx v kvadrate

21. Дифференцирование сложных функций

Если y=f(u) и p(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной – y’=f’(u)*u’

23. Дифференциал функции

Дифференциал функции – главная, линейная относительно дельта x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy=f’(x)deltaX

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной

Свойства:

1. dc=0

2. d(cu)=c du

3. d(u+-v)=du+-dv

4. d(uv)=v du +u dv

5. d(u/v)=vdu-udv/v kvadrat

Геометрический смысл: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в данной точке, когда x получает приращение дельта x

24. Производная и дифференциал высших порядков

Дифференциал второго (или n-го) порядка равен произведению второго (n-го) порядка на квадрат (n-ую степень) дифференциала независимой переменной.

25. Теорема Ферма

Если дифференцируемая на промежутке x функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ферма – в точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ферма может быть использована для доказательства теорем о среднем.

26. Теорема Роля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

а) непрерывна на отрезке [a, b]

б) дифференцируема на отрезке (a, b)

в) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка E (a, b), в которой производная функции равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Роля – найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю.

Если f(a)=f(b)=0, то теорему Роля можно сформулировать так – между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

27. Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

а) непрерывна на отрезке [a, b]

б) дифференцируема на отрезке (a, b)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка E (a, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке.

Теорема утверждает, что существует хотя бы одна точка внутри отрезка, такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрический смысл: Найдётся хотя бы одна точка E(a, b), в которой касательная к графику f(x) и хорда AB, параллельны.

Следствие: Если производная функции f(x) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

28. Теорема Коши. Правило Лопиталя

Теорема: Предел отношения 2ух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если он существует в указанном смысле.

29. Признаки монотонности функции

Теорема (достаточное условие возрастания функции): Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции): Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Геометрический смысл монотонности:  если касательные кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает, если под тупым, то убывает.

Необходимое условие монотонности более слабое – если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) это этом промежутке : f ‘(x) >=0 (f ‘(x)<=0), x принадлежит X, т.е в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

30. Точки экстремума функции. Необходимые условия экстремума

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x)<=f(x0).

Точка x1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x1 выполняется неравенство f(x)>=f(x1).

Необходимое условие экстремума: если в точке x0 дифференцируемая функция

y=f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма и следовательно производная функции в этой точке равна нулю. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Например функция y=модульx имеет минимум в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано так: Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке x0, необходимо чтобы её производная в этой точке равнялась нулю или не существовала (критические точки)

Первое достаточное условие экстремума: Если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус, то точка x0 есть точка максимума функции y=f(x), а если с минуса на плюс – то точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума: Если первая производная f ‘ (x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x0, а вторая производная в этой точке f ‘’(x0) положительна, то x0 есть точка минимума функции f ‘(x); если f ‘’(x0) отрицательна, то x0 – точка максимума.

31. Достаточные признаки существования экстремума функции

1. Если при переходе через точку x0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с плюса на минут, то точка x0 есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс – то точка минимума.

32. Наибольшее и наименьшее значения функции

Согласно теореме Вейерштрасса если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значение. Наибольшее и наименьшее значение может достигаться в точках экстремума и в точках конца отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке нужно найти производную, найти критические точки в которых производная равна нулю или не существует, найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее значение.

Если функция y=f(x) непрерывна на интервале (a, b), то она может не принимать на нём наибольшее и ли наименьшее значение. В частном случае если дифференцируемая функция на интервале (a, b) имеет лишь одну точку максимума или минимума, то наибольшее или наименьшее значение функции совпадает с максимумом или минимумом этой функции.

33. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции

Функция y=f(x) называется выпуклой на промежутке X, если для любых двух значений x1, x2 принадлежащих X из этого промежутка выполняется неравенство f(x1+x2/2)<=f(x1)+f(x2)/2.

Функция y=f(x) называется вогнутой вверх на промежутке X, если для любых двух значений x1, x2 принадлежащих X из этого промежутка выполняется неравенство f(x1+x2/2)>=f(x1)+f(x2)/2.

Теорема: функция вогнута на промежутке X тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает. (геометрический смысл в том что если функция возрастает на промежутке X , то возрастает угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции)

Теорема: Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то функция вогнута на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Т.е точки перегиба – точки экстремума первой производной.

Необходимое условие перегиба: Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю.

Достаточное условие перегиба: Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба её графика.

Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Чтобы исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба нужно – найти 2уи производную функции; найти точки в которых 2ая производная равна нулю или не существует; исследовать знак производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба; найти значения функции в точках перегиба.

34. Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Пусть функция f(x) имеет n+1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,E). Пусть x принадлежит U(a,E). Пусть p – произвольное положительное число. Тогда точка Е  принадлежит (x,a) при x<a или Е  принадлежит (x,a) при x>a

f(x)=f(a)+СУММА(k=1, n) f(v stepeni k)(a)/k! * (x-a)v stepeni k + ((x-a)/(x-E))v stepeni k * (x-E) v stepeni n+1/n!p * f(v stepeni n+1)(E)

35. Неопределённый интеграл и его свойства:

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается интегралf(x)dx, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом: интегралf(x)dx=F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная для f(x), C – произвольная постоянная.

Свойства:

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (интегралf(x)dx)’=f(x)
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению d(интегралf(x)dx)=f(x)dx
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: интегралdF(x)=F(x)+C
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
Интеграл от алгеброической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: интеграл(f(x)+-g(x))dx=интегралf(x)dx+-интегралg(x)dx

37. Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы:

1. Способ замены переменных

2. Интегрирование по частям

38. Интегрирование по частям

ИНТЕГРАЛ udv=uv-ИНТЕГРАЛvdu

Это формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла. При её применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя. При переходе к правой части первый из них дифференцируется, второй интегрируется . Возможности применения связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей.

39. Замена переменных в неопределённом интеграле:

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:

Интеграл f(x)dx = Интеграл f(a(t))a’(t)dt, где x=a(t) – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Так как x=a(t), то эти производные равны, поэтому по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами эти неопределённые интегралы определены с точностью до неопределённого постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Первая формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. По определению дифференциала подынтегральные выражения левой и правой частей равенства совпадают. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному значению.

40. Интегрированная сумма. Определённый интеграл

Интегральная сумма для функции y=f(x) на отрезке [a, b] выражается формулой  СУММА n,i=1 f(Ei)дельтаXi

Пусть предел интегральной суммы при стремлении максимального дельтаXi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1, x2… и точек E1, E2. Тогда этот предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b], обозначается – ИНТЕГРАЛ по a,b f(x)dx, а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b].

a – нижний предел, b – верхний предел, функция f(x) – подынтегральная функция,f(x)dx – подынтегральное выражение, а задача о нахождении – интегрирование функции f(x) на отрезке [a, b]

41. Свойства определённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2. Интеграл от алгеброической суммы 2ух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей.

4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Теорема о среднем: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (где a<b), то найдётся такое значение E принадлежащего [a, b], что ИНТЕГРАЛ(a, b) f(x)dx=f(E)(b-a)

42. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.  ИНТЕГРАЛ(a, b) f(x)dx=F(b)-F(a).

Нахождение определённых интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага – на первом шаге, используя технику нахождения неопределённого интеграла, находим некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу.

43. Интегрирование по частям. Замена переменной

Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [альфа; бета], a=f(alfa), b=f(beta) и функция f(x) непрерывна в каждой точке x вида x=f(t), где t принадлежит [a, b]. Тогда справедливо следующее равенство ИНТЕГРАЛ (a, b) f(x)dx = ИНТЕГРАЛ (alfa, beta) f(fi(t))fi’(t)dt – формула замены переменной в определённом интеграле.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], тогда ИНТЕГРАЛ (a, b) udv=uv I(a, b)-ИНТЕГРАЛ(a, b)vdu – формула интегрирования по частям определённого интеграла.

44. Несобственный интеграл

Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале от а до бесконечности называется предел функции Ф(т) при т стремящимся к бесконечности

ИНТЕГРАЛ(а, +бесконеч)f(x)dx=lim(tà+бесконеч)ИНТЕГРАЛ(a,t) f(x)dx.

Если предел из правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся к данному пределу, в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют две основные задачи – исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла и вычисление значения интеграла в случае если он сходится.

45. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3 соединённых знаком сложения.

Ряд считается заданным если известен его общий член Un=f(n)(n=1,2…), т.е задана функция f(n) натурального аргумента.

Ряд называется сходящимся если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е  lim(n—бесконеч)Sn=S, где S – сумма ряда.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

Если ряд u1+u2+u3 сходится и имеет сумму S, то и ряд pu1+pu2+pu3 также сходится и имеет сумму pS
Если ряды u1+u2+u3 и v1+v2+v3 сходятся и их суммы соответственно равны S1 и S2, то и ряд (u1+v1)+(u2+v2) также сходится и его сумма равна S1+S2.
Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного ряда путём отбрасывания или приписывания конечного числа членов.
Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то предел его общего члена Un при n стремящемся к бесконечности равен нулю.

Следствие: Если предел общего члена ряда при n стремящемуся к бесконечности не равен нулю, то ряд расходится.

46. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами, причём члены первого ряда не превосходят членов второго. Тогда если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1; если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Предельный признак сравнения: Если два ряда – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов, то ряды одновременно сходятся или расходятся.

Признак Даламбера: Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)го члена к n-му члену lim(n—бесконеч) Un+1/Un=L. Тогда если L<1, то ряд сходится, если  L>1, то ряд расходится, если L=1, то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Интегральный признак сходимости: Пусть дан ряд, члены которого положительны и не возрастают, а функция f(x), определённая на x>=1, непрерывная и возрастающая и f(1)=u1, f(2)=u2 итд. Тогда для сходимости этого ряда необходимо и достаточно чтобы сходился несобственный интеграл.

47. Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1>u2>u3 и предел его общего члена при n стремящемся к бесконечности равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена S<=u1.

48. Абсолютная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Различие между абсолютно сходящимся и условно сходящимся рядом в том, что абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

49. Степенные ряды

Степенной ряд – это ряд, членами которого являются степенные функции.

Совокупность тех значений x, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда

Теорема Амбеля: 1) Если степенной ряд сходится при значении x=x0 отличном от нуля, то он сходится и притом абсолютно, при всех значениях  x таких, что модуль x меньше модуля x0. 2) Если степенной ряд расходится при x=x1, то он расходится при всех значениях x, таких что модуль x меньше модуля x1.

Свойства степенных рядов: Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда. Тогда на любом отрезке [a, b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R, R), функция f(x) является непрерывной, следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке. В интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать.

50. Ряды Маклорена

Предположим что функция f(x) определена и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда f(x)=C0+C1x+C2x(второй степени) …итд.

Выразим коэффициенты ряда через f(x). Найдём производные функции f(x), почленно дифференцируя ряд n раз: f’(x)=c1+2c2x+3c3x(во второй степени)….

Полагая в полученных равенствах x=0, получим f(0)=c0, f’(0)=c1, f’’(0)=2*1*c2=2!c2 итд.

Откуда c0=f(0), c1=f’(0), c2=f’’(0)/2! Итд

Подставляя значения коэффициентов c0, c1, c2 итд, получим ряд f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)xkvadrat/2!+… Итд. – ряд Маклорена. Все функции могут быть разложены в ряд Маклорена.

Теорема: Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно чтобы при н стремящемуся к бесконечности остаток ряда стремился к нулю для всех значений x из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

51. Определение функций нескольких переменных

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, x2, x3…) их некоторого множества X соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят что задана функция нескольких переменных z=f(x1, …,xn)

Графиком функции двух переменных называется множество точек трёхмерного пространства , апликакта z которых связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением z=f(x,y) (график представляет собой некоторую поверхность в трёхмерном пространстве)

Число А называется пределом функции z=f(x,y) при x стремящемся к x0 и y стремящемся к y0, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа E>0 найдётся положительное число сигма >0, такое что для всех точек (x,y), отстоящих от точек (x0,y0) на расстоянии p, меньше чем сигма1 выполняется неравенство МОДУЛЬ (f(x,y)-A)<E

53. Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

Для нахождения производной Z’x(x, y) надо считать постоянной переменную y , а для нахождения Z’y(x, y) – переменную x.

54. Полный дифференциал

Дифференциалов функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е dz=Z’x deltaX+Z’y deltaY

Функция z=f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y), если её полное приращение может быть представлено в виде deltaZ=dz+alfa*deltaX+beta*deltaY, где dz – дифференциал функции, альфа=альфа(дельтаX,дельтаY), бета=бета(дельтаX,дельтаY) – бесконечно малые при дельтаX—0, дельтаY—0.

Дифференциал функции двух переменных представляет главную, линейную относительно приращений дельтаX и дельтаY, часть полного приращения функции.

Достаточное условие дифференцируемости двух переменных: Если частные производные функции Z’x(x, y) и непрерывны в самой точке (x, y), то функция z=f(x, y) дифференцируема в этой точке.

55. Производная по направлению

Производной Z’l по направлению l функции двух переменных z=f(x, y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения дельтаL при стремлении последней к нулю, т.е Z’l= lim(deltal—0) deltalZ/deltal

Производная Z’l характеризует скорость изменения функции в направлении l.

56. Градиент

Градиентом функции z=f(x, y) называется вектор с координатами (Z’x, Z’y)

Производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление l.

Теорема: Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x, y) и пусть в точке М(x0, y0) величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

57. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Точка M(x0, y0) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x, y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0, y0)>=f(x, y)

Обращается внимание на локальный характер экстремума функции потому что речь идёт о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки (x0, y0).

Необходимое условие экстремума: Пусть точка (x0, y0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x, y). Тогда частные производные f’x(x0, y0) и f’y(x0, y0) в этой точке равны нулю.

Точки в которых выполнены необходимые условия экстремума функции, то есть частные производные равны нулю, называются критическими или стационарными точками (В точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю ИЛИ в точке экстремума в ноль обращаются производные по всем направлениям)

Достаточное условие экстремума: Пусть функция z=f(x, y): 1) определена в некоторой окрестности критической точки (x0, y0), в которой f’x(x0, y0)=0 и f’y(x0, y0)=0; 2) Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f’’xx(x0, y0)=A, f’’xy(x0, y0)=f’’yx(x0, y0)=B, f’’yy(x0, y0)=C. Тогда если дельта=AC-B(v kvadrate)>0, то в точке (x0, y0) функция z=f(x, y) имеет экстремум, причём если A<0 – максимум, если А>0 – минимум. В случае дельта=AC-B(v kvadrate)<0 функция z=f(x, y) экстремума не имеет. Если дельта=AC-B(v kvadrate)=0 то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводится по схеме:

  1. Найти частные производные функции z’x и z’y
  2. Решить систему уравнений z’x=0, z’y=0 и найти критические точки функции.
  3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
  4. Найти экстремумы функции.

58. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина прямой или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятности; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Детали:

Тип работы: Шпоры/шпаргалки

Предмет: Высшая математика

Год написания: 2010

Добавить комментарий

Ваш email не будет показан.

Получать новые комментарии по электронной почте. Вы можете подписаться без комментирования.