УРАВНЕНИЯ ПРИХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА

Рабочий процесс РДТТ состоит из большого числа разнообраз­ных и связанных между собой физических и химических явлений и процессов, сложных, нередко трудных в управлении и частично еще не изученных в необходимой мере. Рабочий процесс РДТТ определяется закономерностями преобразования энергии, горения твердого топлива, движения продуктов сгорания вдоль тракта двигателя и истечения их из сопла. Создание эффективного РДТТ с требуемыми характеристиками, несмотря на простоту устройства, представляет собой довольно трудную техническую задачу.

1. Скорость прихода продуктов сгорания твердого топлива в камеру двигателя

Количество продуктов сгорания, образующихся при горении топлива в единицу времени, определяет скорость прихода продуктов сгорания в камеру двигателя или секундный приход, который математически выражается как производная по времени от сго­ревшей массы заряда

где: mт.сг. – сгоревшая к данному моменту времени масса топлива.

Пусть величина горящей поверхности заряда в текущий момент времени равна S, а скорость горения топлива – и, тогда, при условии, что горение идет в соответствии с геометрическим законом, за единицу времени сгорит объем топлива, равный Su. При принятом геометрическом законе горения плотность топлива является одинаковой для всех частей заряда, и если она равна ρт, то сгоревшая масса топлива за единицу времени будет Suρт. Так как величина сгоревшей массы топлива равна массе продуктов сгорания, то секундный приход газов в камеру двигателя будет определяться зависимостью

(1.1)

Обозначим отношение сгоревшей к данному моменту массы заряда к его первоначальной массе через ψ = mт.сг./mт, тогда соотношение (1.1) примет вид

(1.2)

Величина ψ определяет относительную массу сгоревшего заряда и изменяется в пределах 0 £ ψ £ 1, при этом ψ = 0 соответствует началу горения заряда, a ψ = 1 – концу.

В общем случае поверхность горения заряда является перемен­ной величиной, поэтому целесообразно перейти к относительной величине, характеризующей изменение поверхности заряда в процессе горения. Обозначим отношение поверхности горения заряда S в текущий момент времени к первоначальной S1 через s = S/S1. Переменная s характеризует относительную поверхность горения заряда. Таким образом, окончательно выражение для секундного прихода продуктов сгорания твердого ракетного топлива (ТРТ) запишется так:

(1.3)

Первые два множителя в правой части формулы (1.3) зависят от геометрических параметров заряда (mт/ρт – объем заряда), тре­тий множитель – скорость горения – является функцией многих факторов (давления в камере сгорания РДТТ, начальной температуры заряда, химического состава ТРТ, соотношения компонентов топлива и т. д.). Следовательно, изменением величин правой части выражения (1.3) можно регулировать се­кундный приход продуктов сгорания. Введение безразмерных ве­личин, имеющих ограниченный диапазон изменений для любых ти­пов РДТТ, является удобным при расчете и проектировании дви­гателей, анализе формул и результатов вычислений.

Преимущества безразмерных величин наиболее полно прояв­ляются при зарядах с переменной поверхностью горения, которые широко используются в двигателях космических систем.

2. Уравнение горящей поверхности заряда

В общем случае горящая поверхность заряда является кусоч­но-гладкой. Уравнение отдельных кусков ее имеет вид

Особенность горения твердого топлива приводит к тому, что в процессе горения отдельные куски поверхности исчезают, а сам заряд еще до полного сгорания, для некоторых сложных форм, распадается на части. Эта особенность при нерав­номерном поле скоростей горения значительно усложняет расчет величины поверхности горения заряда и секундного прихода рабо­чего тела. Если для равномерного поля скоростей поверхность го­рения S в каждый момент времени может быть заранее определе­на как функция толщины сгоревшего свода е, то при переменном поле скоростей такой функции в общем случае не существует.

Для приближенного аналитического представления поверхно­сти горения заряда при равномерном поле скоростей используется квадратный трехчлен вида

где Z = е/е1 – относительная толщина сгоревшего свода заряда;

е, е1 – соответственно текущая и начальная толщина сгоревшего свода заряда.

Величина Z в процессе горения заряда изменяется в пределах 0 £ Z £ 1, при этом Z = 0 соответствует началу горения, а Z = 1 – концу горения заряда.

В соответствии с выражением (1.3) можно записать
(1.4)

Выполнив интегрирование, получаем

Обозначим

Тогда

(1.5)

Величины c, l, m зависят от геометрической формы заряда и поэ­тому называются характеристиками формы. Наибольшее численное значение имеет величина c, коэффициент l значительно меньше, а m является совсем малой величиной и в ряде случаев ей пренебрегают. Для заряда с постоянной поверхностью горения c = 1; l = 0; m = 0. Для заряда прогрессивного горения c < 1; l > 0; m < 0. Для заряда дегрессивного горения c > 1; l < 0; m > 0. Наибо­лее дегрессивными формами являются куб и шар; для них c = 3,0;        l = — 1,0; m = 1/3.

Используя зависимости (1.4) и (1.5), имеем

Сравнивая правые части этих соотношений, получаем уравнение горящей поверхности заряда

(1.6)

3. Поступление продуктов сгорания воспламенителя в камеру двигателя

Распространяя положения геометрического закона на процесс горения воспламенителя, получим следующую формулу для се­кундного прихода продуктов сгорания воспламенителя

(1.7)

Так как mв является малой величиной, то в целях упрощения можно перейти от трехчленных формул к двухчленным

Решая совместно два последних выражения, имеем

(1.8)

Для шара, куба, сплошного цилиндра диаметром, равным высоте, характеристики формы составляют: cв = 2,0; lв = — 0,5. Для зерен «навески» воспламенителя в форме трубки

где L1в – начальная длина трубки.