Тема урока: Сфера, вписанная в многогранник.
Тип урока: урок-лекция.
Количество академических часов: 2.
Учебник: Геометрия 10 – 11 авторы Атанасян Л.С. и другие (11 класс).
Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися рассмотреть основные комбинации многогранников с вписанной сферой, установить основные теоретические факты, применить эти факты к решению задач, показать и убедить учащихся в необходимости изучения темы.
Диагностируемые цели:
В результате ученик:
Знает:
– теоремы о том, когда в призму и пирамиду можно вписать сферу;
– схему построения центра сферы, вписанной в пирамиду, у которой все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания;
– основные ключевые задачи и умеет ими пользоваться;
Умеет:
– производить наглядный чертеж к задаче;
-решать задачи на различные комбинации многогранников с вписанной сферой;
Понимает:
– необходимость изучения данной темы, ее практическое применение.
Оборудование: доска, мел, проектор, экран для отображения информации, презентация, ноутбук.
Ход урока
Мотивационно-ориентировочный этап:
1) Актуализация
В перемену учащимся выдается канва-таблица, в которую они будут записывать теоретические факты и решение задач. Начинается урок. Включен проектор, на экране отображается 1-й слайд презентации. На слайде записано утверждение, затем появляются рисунки, чтобы учащиеся могли лучше ориентироваться при ответах на вопросы учителя.
П. Здравствуйте, ребята. Садитесь. Начнем урок со следующего задания: обратите внимание на экран.
Учитель просит одного из учеников прочитать утверждение, изложенное на 1-м слайде: если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.
П. верно ли это утверждение?
У. нет, так как на первом рисунке окружность не вписана в прямоугольник.
П. приведите пример параллелограмма, в который можно вписать окружность, но который не является прямоугольником.
У. ромб, так как он является параллелограммом и не является прямоугольником, но в него можно вписать окружность.
П. почему в ромб можно вписать окружность?
У. в ромб можно вписать окружность, потому что суммы его противоположных сторон равны.
П. верно. Мы вспомнили, что для того, чтобы в параллелограмм можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон параллелограмма были равны. Назовите эквивалентную формулировку.
У. для того, чтобы в параллелограмм можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы этот параллелограмм являлся ромбом.
П. правильно. А можно ли вписать окружность в произвольный квадрат?
У. да, так как если четырехугольник является квадратом, то он является и ромбом, а значит, в него можно вписать окружность.
(появляется 2-й слайд)
П. рассмотрим более общий случай. Скажите, можно ли обобщить утверждение для параллелограмма на произвольный выпуклый четырехугольник?
У. да.
П. таким образом, получаем: для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон этого четырехугольника были равны.
П. как найти центр окружности, вписанной в n-угольник?
У. нужно найти точку пересечения биссектрис углов n-угольника.
П. верно. Но если мы знаем, что в данный n-угольник можно вписать окружность, то есть знаем, что сумма противоположных сторон n-угольника равна, то достаточно найти точку пересечения биссектрис двух любых углов.
(появляется 3-й слайд)
П. В какой треугольник можно вписать окружность?
У. в любой.
П. как найти центр окружности, вписанной в треугольник?
У. чтобы найти центр вписанной в треугольник окружности, нужно найти точку пересечения биссектрис его углов.
П. по аналогии с предыдущим утверждением, чтобы найти центр вписанной в треугольник окружности, достаточно найти точку пересечения биссектрис двух любых углов треугольника.
П. посмотрите на рисунок. Чем является отрезок ОН перпендикуляра, опущенного из центра окружности к стороне АС треугольника АВС?
У. радиусом.
П. значит что нужно, чтобы изобразить радиус?
У. чтобы изобразить радиус, нужно опустить перпендикуляр из центра окружности к любой стороне треугольника.
2) Мотивация
П. Ребята, мы неоднократно замечали, что многие понятия и теоремы стереометрии аналогичны понятиям и теоремам планиметрии. Например, симметрию в пространстве мы изучали по аналогии с симметрией на плоскости, правильные многогранники – по аналогии с правильными многоугольниками. Сегодня мы вспомнили много важных фактов, касающихся вписанной окружности. Как вы думаете, что будет являться аналогом окружности в пространстве?
У. сфера.
П. а аналогом вписанной окружности в пространстве?
У. вписанная сфера.
3) Постановка учебных задач
П.куда может быть вписана сфера?
У. в цилиндр, конус, пирамиду, призму…(появляется 4-й слайд)
П. то есть сфера может быть вписана в многогранники и тела вращения. Мы будем рассматривать отдельно комбинации многогранников с вписанной сферой и комбинации тел вращения с вписанной сферой. Сегодня мы изучим комбинации многогранников с вписанной сферой.
П. запишите тему урока «Сфера, вписанная в многогранник». (ученики записывают тему в канву-таблицу).
(появляется 5-й слайд)
П. в начале урока мы вспомнили, что не в любой многоугольник можно вписать окружность. Проведите аналогию и ответьте на вопрос: в любой ли многогранник можно вписать сферу?
У. наверное нет, должны выполняться определенные условия.
П. какие условия?
Ученики затрудняются ответить.
П. какова наша задача сегодня?
У. выяснить условия, при которых в многогранник можно вписать сферу.
Содержательный этап:
(появляется 6-й слайд)
П.: Давайте рассмотрим многоугольник, в который вписана окружность. Что является аналогом многоугольника в пространстве?
У.: Многогранник.
П.: А что является аналогом окружности?
У.: Сфера.
П.: Давайте вспомним определение вписанной в многоугольник окружности.
У.: Окружность называется вписанной в многоугольник, если окружность касается всех сторон многоугольника.
П.: Верно, а теперь сформулируем определение для сферы, вписанной в многоугольник, по аналогии с предыдущим определением.
У.: Сфера называется вписанной в многогранник, если сфера касается всех граней многогранника.(появляется 7-й слайд, ученики записывают определение в канву-таблицу)
П.: Молодцы. Напомним, что сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани.
(появляется 8-й слайд)
П.: Пусть нам дан многоугольник и вписанная в него окружность. Давайте нашим плоскостным фигурам «придадим» объем, при этом в качестве многогранника рассмотрим прямую призму. Получим сферу, вписанную в призму. Как вы думаете, при каких условиях мы сможем вписать в прямую призму сферу?
У.: Когда в основание можно вписать окружность.
П.: А что можно сказать про высоту призмы?
У.: Высота призмы должна быть равна диаметру вписанной сферы.
П.: Итак, теперь попытайтесь сформулировать теорему о том, при каких условиях в прямую призму можно вписать сферу.
У.: Теорема: В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда:
1) в ее основание можно вписать окружность;
2) диаметр этой окружности равен боковому ребру призмы.(появляется 9-й слайд, на котором записана теорема, ученики записывают ее в канву-таблицу).
П.: Теперь попробуем выяснить условия, необходимые для того, чтобы в пирамиду можно было вписать сферу.(появляется 10-й слайд) Опять же обратимся к многоугольнику и окружности. Чем является центр вписанной в многоугольник окружности на плоскости?
У.: Точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.
П.: А что является аналогом линейного угла в пространстве?
У.: Двугранный угол.
П.: Чем является биссектриса?
У.: Лучом.
П.: Что является пространственным аналогом луча?
У.: Пространственным аналогом луча является полуплоскость.
П.: Как расположена эта полуплоскость по отношению к двугранному углу?
У.: Она делит двугранный угол на два равных угла.
П.: Значит что является аналогом биссектрисы в пространстве?
У.: Полуплоскость, которая делит двугранный угол на два равных угла.
П.: Такая плоскость называется биссектором двугранного угла.
П.: Попробуйте сформулировать определение центра вписанной в пирамиду сферы, исходя из вышесказанного и используя определение центра вписанной в многоугольник окружности.
У.: Центр вписанной в пирамиду сферы является точкой пересечения биссекторов всех двугранных пирамиды.
П.: Совершенно верно. В общем случае это именно так. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Причем он расположен только внутри многогранника. В случае с пирамидой верны следующие теоремы: «В выпуклую пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда биссекторы всех двугранных углов при боковых ребрах пересекаются по некоторому лучу с началом в вершине пирамиды», В выпуклую пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда биссекторы всех двугранных углов при ребрах основания пирамиды проходят через одну точку».(ученики записывают теоремы в канву-таблицу. При формулировке теоремы учитель показывает на плакате элементы, о которых идет речь в теореме) Далее для закрепления теории (теорем о сфере вписанной в призму и пирамиду) решим следующие задачи.