Сфера, вписанная в многогранник (урок-лекция)

Бесплатно!

Тема урока: Сфера, вписанная в многогранник.

Тип урока: урок-лекция.

Количество академических часов: 2.

Учебник: Геометрия 10 – 11 авторы Атанасян Л.С. и другие (11 класс).

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися рассмотреть основные комбинации многогранников с вписанной сферой, установить основные теоретические факты, применить эти факты к решению задач, показать и убедить учащихся в необходимости изучения темы.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

Знает:

– теоремы о том, когда в призму и пирамиду можно вписать сферу;

– схему построения центра сферы, вписанной в пирамиду, у которой все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания;

– основные ключевые задачи и умеет ими пользоваться;

Умеет:

– производить наглядный чертеж к задаче;

-решать задачи на различные комбинации многогранников с вписанной сферой;

Понимает:

– необходимость изучения данной темы, ее практическое применение.

Оборудование: доска, мел, проектор, экран для отображения информации, презентация, ноутбук.

Ход урока

Мотивационно-ориентировочный этап:

1)  Актуализация

В перемену учащимся выдается канва-таблица, в которую они будут записывать теоретические факты и решение задач. Начинается урок. Включен проектор, на экране отображается 1-й слайд презентации. На слайде записано утверждение, затем появляются рисунки, чтобы учащиеся могли лучше ориентироваться при ответах на вопросы учителя.

П. Здравствуйте, ребята. Садитесь. Начнем урок со следующего задания: обратите внимание на экран.

Учитель просит одного из учеников прочитать утверждение, изложенное на 1-м слайде: если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.

П. верно ли это утверждение?

У. нет, так как на первом рисунке окружность не вписана в прямоугольник.

П. приведите пример параллелограмма, в который можно вписать окружность, но который не является прямоугольником.

У. ромб, так как он является параллелограммом и не является прямоугольником, но в него можно вписать окружность.

П. почему в ромб можно вписать окружность?

У. в ромб можно вписать окружность, потому что суммы его противоположных сторон равны.

П. верно. Мы вспомнили, что для того, чтобы в параллелограмм можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон параллелограмма были равны. Назовите эквивалентную формулировку.

У. для того, чтобы в параллелограмм можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы этот параллелограмм являлся ромбом.

П. правильно. А можно ли вписать окружность в произвольный квадрат?

У. да, так как если четырехугольник является квадратом, то он является и ромбом, а значит, в него можно вписать окружность.

(появляется 2-й слайд)

П. рассмотрим более общий случай. Скажите, можно ли обобщить утверждение для параллелограмма на произвольный выпуклый четырехугольник?

У. да.

П. таким образом, получаем: для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон этого четырехугольника были равны.

П. как найти центр окружности, вписанной в n-угольник?

У. нужно найти точку пересечения биссектрис углов n-угольника.

П. верно. Но если мы знаем, что в данный n-угольник можно вписать окружность, то есть знаем, что сумма противоположных сторон n-угольника равна, то достаточно найти точку пересечения биссектрис двух любых углов.

(появляется 3-й слайд)

П. В какой треугольник можно вписать окружность?

У. в любой.

П. как найти центр окружности, вписанной в треугольник?

У. чтобы найти центр вписанной в треугольник окружности, нужно найти точку пересечения биссектрис его углов.

П. по аналогии с предыдущим утверждением, чтобы найти центр вписанной в треугольник окружности, достаточно найти точку пересечения биссектрис двух любых углов треугольника.

П. посмотрите на рисунок. Чем является отрезок ОН перпендикуляра, опущенного из центра окружности к стороне АС треугольника АВС?

У. радиусом.

П. значит что нужно, чтобы изобразить радиус?

У. чтобы изобразить радиус, нужно опустить перпендикуляр из центра окружности к любой стороне треугольника.

2) Мотивация

П. Ребята, мы неоднократно замечали, что многие понятия и теоремы стереометрии аналогичны понятиям и теоремам планиметрии. Например, симметрию в пространстве мы изучали по аналогии с симметрией на плоскости, правильные многогранники – по аналогии с правильными многоугольниками. Сегодня мы вспомнили много важных фактов, касающихся вписанной окружности. Как вы думаете, что будет являться аналогом окружности в пространстве?

У. сфера.

П. а аналогом вписанной окружности в пространстве?

У. вписанная сфера.

3) Постановка учебных задач

П.куда может быть вписана сфера?

У. в цилиндр, конус, пирамиду, призму…(появляется 4-й слайд)

П. то есть сфера может быть вписана в многогранники и тела вращения. Мы будем рассматривать отдельно комбинации многогранников с вписанной сферой и комбинации тел вращения с вписанной сферой. Сегодня мы изучим комбинации многогранников с вписанной сферой.

П. запишите тему урока «Сфера, вписанная в многогранник». (ученики записывают тему в канву-таблицу).

(появляется 5-й слайд)

П. в начале урока мы вспомнили, что не в любой многоугольник можно вписать окружность. Проведите аналогию и ответьте на вопрос: в любой ли многогранник можно вписать сферу?

У. наверное нет, должны выполняться определенные условия.

П. какие условия?

Ученики затрудняются ответить.

П. какова наша задача сегодня?

У. выяснить условия, при которых в многогранник можно вписать сферу.

Содержательный этап:

(появляется 6-й слайд)

П.: Давайте рассмотрим многоугольник, в который вписана окружность. Что является аналогом многоугольника в пространстве?

У.: Многогранник.

П.: А что является аналогом окружности?

У.: Сфера.

П.: Давайте вспомним определение вписанной в многоугольник окружности.

У.: Окружность называется вписанной в многоугольник, если окружность касается всех сторон многоугольника.

П.: Верно, а теперь сформулируем определение для сферы, вписанной в многоугольник, по аналогии с предыдущим определением.

У.: Сфера называется вписанной в многогранник, если сфера касается всех граней многогранника.(появляется 7-й слайд, ученики записывают определение в канву-таблицу)

П.: Молодцы. Напомним, что сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани.

(появляется 8-й слайд)

П.: Пусть нам дан многоугольник и вписанная в него окружность.  Давайте нашим плоскостным фигурам «придадим» объем, при этом в качестве многогранника рассмотрим прямую призму. Получим сферу, вписанную в призму. Как вы думаете, при каких условиях мы сможем вписать в прямую призму сферу?

У.: Когда в основание можно вписать окружность.

П.: А что можно сказать про высоту призмы?

У.: Высота призмы должна быть равна диаметру вписанной сферы.

П.: Итак, теперь попытайтесь сформулировать теорему о том, при каких условиях в прямую призму можно вписать сферу.

У.: Теорема: В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда:

1) в ее основание можно вписать окружность;

2) диаметр этой окружности равен боковому ребру призмы.(появляется 9-й слайд, на котором записана теорема, ученики записывают ее в канву-таблицу).

П.: Теперь попробуем выяснить условия, необходимые для того, чтобы в пирамиду можно было вписать сферу.(появляется 10-й слайд) Опять же обратимся к многоугольнику и окружности. Чем является центр вписанной в многоугольник окружности на плоскости?

У.: Точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.

П.: А что является аналогом линейного угла в пространстве?

У.: Двугранный угол.

П.: Чем является биссектриса?

У.: Лучом.

П.: Что является пространственным аналогом луча?

У.: Пространственным аналогом луча является полуплоскость.

П.: Как расположена эта полуплоскость по отношению к двугранному углу?

У.: Она делит двугранный угол на два равных угла.

П.: Значит что является аналогом биссектрисы в пространстве?

У.: Полуплоскость, которая делит двугранный угол на два равных угла.

П.: Такая плоскость называется биссектором двугранного угла.

П.: Попробуйте сформулировать определение центра вписанной в пирамиду сферы, исходя из вышесказанного и используя определение центра вписанной в многоугольник окружности.

У.: Центр вписанной в пирамиду сферы является точкой пересечения биссекторов всех двугранных пирамиды.

П.: Совершенно верно. В общем случае это именно так. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Причем он расположен только внутри многогранника. В случае с пирамидой верны следующие теоремы: «В выпуклую пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда биссекторы всех двугранных углов при боковых ребрах пересекаются по некоторому лучу с началом в вершине пирамиды»,  В выпуклую пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда биссекторы всех двугранных углов при ребрах основания пирамиды проходят через одну точку».(ученики записывают теоремы в канву-таблицу. При формулировке теоремы учитель показывает на плакате элементы, о которых идет речь в теореме) Далее для закрепления теории (теорем о сфере вписанной в призму и пирамиду) решим следующие задачи.

Детали:

Тип работы: Лекции

Предмет: Математика, Педагогика

Год написания: 2010

Добавить комментарий

Ваш email не будет показан.

Получать новые комментарии по электронной почте. Вы можете подписаться без комментирования.